Buktikan rumus fungsi invers komposisi ini! (f o g)⁻¹(x) = (g⁻¹ o f⁻¹)(x) (g o f)⁻¹(x) = (f⁻¹ o g⁻¹)(x)

Kode Mapel : 2
Kode             : 10. 2. 3
Mapel           : Matematika Wajib
Bab               : Bab III
Kategori       : Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Kelas            : SMA / MA kelas X
Semester     : Ganjil


Pembahasan:
Nomer 1
[tex](fog)^{-1}(x) = (g^{-1}of^{-1})(x)[/tex]

Bukti:
Jika dimisalkan:
[tex](fog)(x)=h(x)\\ \\(fog)^{-1}(x)=h^{-1}(x)[/tex]

Maka:
[tex]f(x)=h(g^{-1}(x))\\ \\g^{-1}(x)=h^{-1}(f(x))\\ \\h^{-1}(f(x))=g^{-1}(x)\\ \\h^{-1}[f(f^{-1}(x))]=g^{-1}(f^{-1}(x))\\ \\h^{-1}(x)=g^{-1}(f^{-1}(x))\\ \\(fog)^{-1}(x)=(g^{-1}of^{-1})(x)[/tex]
Terbukti!



Nomer 2
[tex](gof)^{-1}(x) = (f^{-1}og^{-1})(x)[/tex]

Bukti:
Jika dimisalkan:
[tex](gof)(x)=h(x)\\ \\(gof)^{-1}(x)=h^{-1}(x)[/tex]

Maka:
[tex]g(x)=h(f^{-1}(x))\\ \\f^{-1}(x)=h^{-1}(g(x))\\ \\h^{-1}(g(x))=f^{-1}(x)\\ \\h^{-1}[g(g^{-1}(x))]=f^{-1}(g^{-1}(x))\\ \\h^{-1}(x)=f^{-1}(g^{-1}(x))\\ \\(gof)^{-1}(x)=(f^{-1}og^{-1})(x)[/tex]
Terbukti!